Störungsanalyse der Mischgüte mit Laplace-Transformation

Beispielhafte Anwendung der Laplace-Transformation für einen kontinuierlichen Mischprozess im amixon®-Mischer AMK 1000: Pulver A strömt konstant mit 1.000 kg/h in den Mischer. Pulver B wird gleichzeitig mit 10 kg/h dosiert. Der Mischraum bleibt zu Beginn geschlossen. Das Mischwerkzeug läuft bereits und erreicht nach 20 Umdrehungen eine ideale Mischgüte. Es dreht mit 20 U/min.

Sobald im Mischer 700 kg Produkt vorhanden sind, öffnet sich die Austragsarmatur. Der Abfluss wird so eingestellt, dass die eingehenden 1.010 kg/h auch wieder ausgetragen werden. Der Prozess läuft stabil.

Plötzlich tritt eine Störung auf: Die Zufuhr von Komponente B stoppt für 20 Sekunden vollständig. Danach wird der Dosierer korrigiert und B strömt für 20 Sekunden mit doppelter Menge (20 kg/h). Anschließend stabilisiert sich der Zufluss wieder auf 10 kg/h.

Vor der Störung lag eine technisch ideale Mischgüte vor. Der Variationskoeffizient der Mischgüte betrug 3 %.

Prozess in Zahlen (Ausgangslage)

Zulauf A: ṁ_A = 1000 kg/h; Zulauf B (nominal): ṁ_B = 10 kg/h; Gesamtzulauf: ṁ_ein = 1010 kg/h. Konstante Pulvermasse im Mischer: M = 700 kg.

Mittlere Verweilzeit τ (Zeitkonstante):

τ = M / ṁ_aus = 700 / 1010 h = 0,693 h = 41,6 min = 2495 s

Nominaler Massenanteil von B am Zulauf (und stationär am Auslauf):

x_B,in,0 = 10 / 1010 = 0,00990099 (≈ 0,9901 %)

Störszenario (Zulauf B)

0 ≤ t < 20 s: Blockade, ṁ_B = 0; 20 ≤ t < 40 s:

Korrektur, ṁ_B = 20 kg/h; t ≥ 40 s: wieder 10 kg/h.

Wir betrachten die Abweichung des B-Anteils im Zulauf relativ zur Nennfraktion:

u(t) = x_B,in(t) − x_B,in,0.

Stückweise Definition (Totalsstrom näherungsweise konstant 1010 kg/h):

u(t) = {-x_B,in,0 für 0≤t<20 s; +x_B,in,0 für 20≤t<40 s; 0 für t≥40 s}

Dynamisches Modell (PT1, ideal durchmischt)

Auslassanteil y(t) (Abweichung der B-Fraktion am Auslass) folgt einem PT1-Modell:

τ dy(t)/dt + y(t) = u(t), y(0⁻) = 0

Laplace-Lösung

Laplace-Transformierte des PT1:

Y(s) = (1 / (τ s + 1)) · U(s)

τ (Tau): die Zeitkonstante des Systems (hier: die mittlere Verweilzeit im Mischer)
s: die Laplace-Variable, ein Maß dafür, wie sich Signale in der Zeit ändern
„τ · s“ ist eine dimensionslose Kombination aus Zeitkonstante und Änderungsrate.

Eingang u(t) als Differenz zweier Rechtecksprünge; mit Heaviside-Verschiebungen ergibt sich:

U(s) = x_B,in,0 · (-1 + 2 e^{-20 s} - e^{-40 s}) / s

Zeitbereichslösung (Überlagerung von Schrittantworten, Heaviside H(·)):

y(t)=x_B,in,0[ - (1 - e^{-t/τ}) H(t) + 2 (1 - e^{-(t-20)/τ}) H(t-20) - (1 - e^{-(t-40)/τ}) H(t-40) ]

Zahlenwerte und Maximalabweichung

Mit τ = 2495 s und x_B,in,0 = 0,00990099 ergeben sich:

e^{-20/τ} = e^{-20/2495} ≈ 0,99202; 1 - e^{-20/τ} ≈ 0,00798

Größte negative Abweichung am Ende der Blockade (t = 20 s):

y(20) = - x_B,in,0 (1 - e^{-20/τ}) ≈ -7,9·10^{-5} (≈ -0,0079 % absolut)

Ende der Überdosierung (t = 40 s):

y(40) ≈ +6,3·10^{-7} (praktisch nominal)

Für t > 40 s klingt die winzige Restabweichung exponentiell ab:

y(t) = y(40) · e^{-(t-40)/τ}

Einordnung zur Mischgüte (CV = 3 %)

Die dynamische, durch die Störung verursachte Abweichung der B-Fraktion (~0,8 % relativ) liegt deutlich unter dem genannten Variationskoeffizienten der Mischgüte (3 %). Die Störung ist im Produktstrom daher praktisch kaum sichtbar.

Nutzen der Laplace-Analyse

Die Laplace-Darstellung liefert eine geschlossene Formel für die zeitliche Auswirkung von Zulauf-Profilen auf die Auslass-Mischgüte. Damit lassen sich maximale Abweichungen, Erholzeiten und der Einfluss der Verweilzeit schnell abschätzen – hilfreich für die Auslegung von Mischraum und Korrekturstrategien.

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