Analiza zaburzeń jakości mieszania za pomocą transformacji Laplace'a

Przykładowe zastosowanie transformacji Laplace'a dla ciągłego procesu mieszania w mieszalniku amixon® AMK 1000: Proszek A przepływa do mieszalnika ze stałą prędkością 1000 kg/h. Proszek B jest dozowany jednocześnie z prędkością 10 kg/h. Komora mieszania pozostaje na początku zamknięta. Narzędzie mieszające już pracuje i po 20 obrotach osiąga idealną jakość mieszania. Obraca się z prędkością 20 obr./min.

Gdy w mieszalniku znajdzie się 700 kg produktu, otwiera się zawór spustowy. Odpływ jest ustawiony tak, aby 1010 kg/h, które wpłynęło, zostało również wypuszczone. Proces przebiega stabilnie.

Nagle pojawia się zakłócenie: dopływ składnika B zostaje całkowicie zatrzymany na 20 sekund. Następnie dozownik zostaje skorygowany i składnik B przepływa przez 20 sekund z podwójną ilością (20 kg/h). Następnie dopływ ponownie stabilizuje się na poziomie 10 kg/h.

Przed wystąpieniem zakłócenia jakość mieszanki była idealna pod względem technicznym. Współczynnik zmienności jakości mieszanki wynosił 3%.

Proces w liczbach (sytuacja wyjściowa)

Dopływ A: ṁ_A = 1000 kg/h; dopływ B (nominalny): ṁ_B = 10 kg/h; całkowity dopływ: ṁ_ein = 1010 kg/h. Stała masa proszku w mieszalniku: M = 700 kg.

Średni czas przebywania τ (stała czasowa):

t = M / ṁ_aus = 700 / 1010 h = 0,693 h = 41,6 min = 2495 s

Nominalna zawartość masowa B na wlocie (i stacjonarna na wylocie):

x_B,in,0 = 10 / 1010 = 0,00990099 (≈ 0,9901 %)

Scenariusz awarii (dopływ B)

0 ≤ t < 20 s: Blokada, ṁ_B = 0; 20 ≤ t < 40 s:

Korekta, ṁ_B = 20 kg/h; t ≥ 40 s: ponownie 10 kg/h.

Rozważamy odchylenie udziału frakcji B w dopływie względem frakcji nominalnej:

u(t) = x_B,in(t) − x_B,in,0.

Definicja częściowa (całkowity przepływ w przybliżeniu stały 1010 kg/h):

u(t) = {-x_B,in,0 dla 0≤t<20 s; +x_B,in,0 dla 20≤t<40 s; 0 dla t≥40 s}

Model dynamiczny (PT1, idealnie wymieszany)

Udział wylotu y(t) (odchylenie frakcji B na wylocie) jest zgodny z modelem PT1:

dy(t)/dt + y(t) = u(t), y(0⁻) = 0

Rozwiązanie Laplace'a

Przekształcenie Laplace'a PT1:

Y(s) = (1 / (τ s + 1)) · U(s)

τ (tau): stała czasowa systemu (w tym przypadku: średni czas przebywania w mieszalniku)
s: zmienna Laplace'a, miara zmian sygnałów w czasie
„τ · s” jest bezwymiarową kombinacją stałej czasowej i szybkości zmian.

Wejście u(t) jako różnica dwóch skoków prostokątnych; przy przesunięciach Heaviside'a otrzymujemy:

U(s) = x_B,in,0 · (-1 + 2 e^{-20 s} - e^{-40 s}) / s

Rozwiązanie w dziedzinie czasu (nakładanie się odpowiedzi skokowych, Heaviside H(·)):

y(t)=x_B,in,0[ - (1 - e^{-t/τ}) H(t) + 2 (1 - e^{-(t-20)/τ}) H(t-20) - (1 - e^{-(t-40)/τ}) H(t-40) ]

Wartości liczbowe i maksymalne odchylenie

Przy τ = 2495 s i x_B,in,0 = 0,00990099 otrzymujemy:

e^{-20/τ} = e^{-20/2495} ≈ 0,99202; 1 - e^{-20/τ} ≈ 0,00798

Największe ujemne odchylenie na końcu blokady (t = 20 s):

y(20) = - x_B,in,0 (1 - e^{-20/τ}) ≈ -7,9·10^{-5} (≈ -0,0079 % bezwzględnie)

Koniec przedawkowania (t = 40 s):

y(40) ≈ +6,3·10^{-7} (praktycznie nominalna)

Dla t > 40 s niewielkie odchylenie resztkowe zanika wykładniczo:

y(t) = y(40) · e⁻^(t-40)/τ

Klasyfikacja jakości mieszanki (CV = 3%)

Dynamiczne odchylenie frakcji B (~0,8% względnie) spowodowane zakłóceniem jest znacznie niższe od podanego współczynnika zmienności jakości mieszanki (3%). Zakłócenie jest zatem praktycznie niewidoczne w strumieniu produktu.

Korzyści płynące z analizy Laplace'a

Przedstawienie Laplace'a dostarcza zamkniętej formuły dla wpływu profili dopływu na jakość mieszania na wylocie w czasie. Dzięki temu można szybko oszacować maksymalne odchylenia, czasy regeneracji i wpływ czasu przebywania – co jest pomocne przy projektowaniu komory mieszania i strategii korekcyjnych.

Powrót