라플라스 변환을 이용한 혼합 품질의 고장 분석
amixon® AMK 1000 믹서에서 연속 혼합 공정에 대한 라플라스 변환의 예시적 적용: 분말 A는 1,000 kg/h의 속도로 지속적으로 믹서로 유입됩니다. 분말 B는 동시에 10 kg/h로 계량됩니다. 혼합실은 시작 시 닫힌 상태로 유지됩니다. 혼합 도구는 이미 작동 중이며 20회 회전 후 이상적인 혼합 품질에 도달합니다. 회전 속도는 20 U/min입니다.
믹서에 700kg의 제품이 채워지면 배출 밸브가 열립니다. 유출량은 유입되는 1,010kg/h가 모두 배출되도록 설정됩니다. 공정은 안정적으로 진행됩니다.
갑작스러운 장애가 발생합니다: 성분 B의 공급이 20초 동안 완전히 중단됩니다. 이후 계량기가 보정되고 B는 20초 동안 두 배의 양(20 kg/h)으로 유입됩니다. 이후 유입량은 다시 10 kg/h로 안정화됩니다.
고장 발생 전에는 기술적으로 이상적인 혼합 품질이 유지되고 있었습니다. 혼합 품질의 변동 계수는 3%였습니다.
프로세스 현황 (초기 상황)
유입 A: ṁ_A = 1000 kg/h; 유입 B (명목): ṁ_B = 10 kg/h; 총 유입량: ṁ_ein = 1010 kg/h. 혼합기 내 분말 질량 상수: M = 700 kg.
평균 체류 시간 τ (시간 상수):
t = M / ṁ_aus = 700 / 1010 h = 0.693 h = 41.6 min = 2495 s
유입부(및 유출부에서 정상 상태)에서의 B의 명목 질량 비율:
x_B,in,0 = 10 / 1010 = 0.00990099 (≈ 0.9901 %)
라플라스 해
PT1의 라플라스 변환:
Y(s) = (1 / (τ s + 1)) · U(s)
τ (타우): 시스템의 시간 상수 (여기서는 혼합기 내 평균 체류 시간)
s: 라플라스 변수, 신호가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 나타내는 척도
"τ · s"는 시간 상수와 변화율의 무차원 조합이다.
입력 u(t)는 두 사각형 도약의 차이로 표현되며, 헤비사이드 이동을 적용하면 다음과 같이 구해집니다:
U(s) = x_B,in,0 · (-1 + 2 e^{-20 s} - e^{-40 s}) / s
시간 영역 해법 (계단 응답의 중첩, Heaviside H(·)):
y(t)=x_B,in,0[ - (1 - e^{-t/τ}) H(t) + 2 (1 - e^{-(t-20)/τ}) H(t-20) - (1 - e^{-(t-40)/τ}) H(t-40) ]
수치값과 최대 편차
τ = 2495 s 및 x_B,in,0 = 0.00990099일 때 다음과 같이 계산됩니다:
e^{-20/τ} = e^{-20/2495} ≈ 0.99202; 1 - e^{-20/τ} ≈ 0.00798
차단 종료 시점(t = 20초)의 최대 음의 편차:
y(20) = - x_B,in,0 (1 - e^{-20/τ}) ≈ -7.9·10^{-5} (≈ -0.0079 % 절대값)
과다 투여 종료 시점 (t = 40초):
y(40) ≈ +6.3×10⁻⁷ (실질적으로 명목값)
t > 40초일 때, 미세한 잔여 편차는 지수적으로 감소한다:
y(t) = y(40) · e⁻^(t-40)/τ
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