ラプラス変換による混合品質の障害分析
amixon®ミキサーAMK 1000における連続混合プロセスに対するラプラス変換の適用例：粉末Aは1,000 kg/hの一定流量でミキサーに流入します。粉末Bは同時に10 kg/hの流量で投入されます。混合室は開始時には閉じたままです。混合ツールはすでに作動しており、20 回転後に理想的な混合品質に達します。回転数は 20 rpm です。
ミキサーに 700 kg の製品が投入されると、排出バルブが開きます。流入する 1,010 kg/h が排出されるように排出量が調整されます。プロセスは安定して進行します。
突然、障害が発生します。成分 B の供給が 20 秒間完全に停止します。その後、投与装置が修正され、B が 20 秒間に 2 倍量（20 kg/h）で供給されます。その後、供給量は 10 kg/h に再び安定します。
障害発生前は、技術的に理想的な混合品質が得られていました。混合品質の変動係数は 3% でした。
プロセスを数字で見る（現状）
流入 A：ṁ_A = 1000 kg/h、流入 B（公称）：ṁ_B = 10 kg/h、総流入量：ṁ_ein = 1010 kg/h。ミキサー内の粉末質量定数：M = 700 kg。
平均滞留時間 τ（時間定数）：
t = M / ṁ_aus = 700 / 1010h = 0.693h = 41.6 分 = 2495 秒
流入部（および流出部で定常状態）における B の名目質量割合：
x_B,in,0 = 10 / 1010 = 0.00990099 (≈ 0.9901 %)
ラプラス解
PT1のラプラス変換：
Y(s) = (1 / (τ s + 1)) · U(s)
τ (タウ): システムの時間定数 (ここでは、ミキサー内の平均滞留時間)
s: ラプラス変数、信号が時間とともにどのように変化するかの尺度
「τ · s」は、時間定数と変化率の無次元組み合わせです。
入力 u(t) は 2 つの矩形ジャンプの差として、ヘビサイドシフトを用いて次のように表されます。
U(s) = x_B,in,0 · (-1 + 2 e^{-20 s} - e^{-40 s}) / s
時間領域解（ステップ応答の重ね合わせ、Heaviside H(·)）：
y(t)=x_B,in,0[ - (1 - e^{-t/τ}) H(t) + 2 (1 - e^{-(t-20)/τ}) H(t-20) - (1 - e^{-(t-40)/τ}) H(t-40) ]
数値と最大偏差
τ = 2495 s、x_B,in,0 = 0.00990099 を用いて、以下の結果が得られます。
e^{-20/τ} = e^{-20/2495} ≈ 0.99202; 1 - e^{-20/τ} ≈ 0.00798
ブロック終了時の最大負の偏差（t = 20 秒）：
y(20) = - x_B,in,0 (1 - e^{-20/τ}) ≈ -7,9·10^{-5} (≈ -0,0079 % 絶対値)
過剰摂取の終了（t = 40 秒）：
y(40) ≈ +6.3×10^{-7} (実質的に公称値)
t > 40 s の場合、ごくわずかな残留偏差は指数関数的に減少します。
y(t) = y(40) · e⁻^(t-40)/τ
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