브라운 운동에 의해 발생하는 페리키네틱 응집에서는 입자 간 충돌과 응집으로 인해 시간에 따라 입자 수 농도가 감소한다. 희석된 현탁액에서 항상 두 입자가 하나의 응집체로 융합되는 경우를 고려하면,

입자 수 농도 n의 시간적 변화는 다음과 같은 간단한 2차 미분 방정식으로 설명됩니다:

dn/dt = - k · n²

• n: 입자 수 농도 [1/m³]
• k: 응고 속도 상수 [m³/s]
• t: 시간 [초]

오른쪽 항은 n²에 비례합니다. 왜냐하면 각 응집 작용마다 두 입자가 "사라지며" 충돌 빈도는 충돌하는 입자들의 농도 곱과 연관되어 있기 때문입니다.

n(t) = n₀ / (1 + k · n₀ · t)

• n₀: 입자의 초기 농도 [1/m³]
• t = 0일 때 n(0) = n₀이다.
• 시간 t가 증가함에 따라 n(t)는 쌍곡선적으로 감소한다.

• k 또는 n₀가 클수록 n(t)는 더 빠르게 감소한다.

   

퍼키네틱 응고 상수 (브라운 운동).

뉴턴 유체 내 구형 입자에 대해, 브라운 운동과 스토크스-아인슈타인 근사법을 통해 주변 운동 응집의 응집 상수를 유도할 수 있다. 그 결과는 온도에 비례하고 점도에 반비례하는 관계이다.

k = (8 * k_B * T) / (3 * μ)

• k: 응고 속도 상수 [m³/s]
• k_B: 볼츠만 상수
• T: 절대 온도 [K]
• μ: 액체의 동적 점도 [Pa·s]

온도 T가 높아질수록 브라운 운동이 강해지고, 충돌 빈도가 증가하며, k 값이 커진다. 점도 μ가 높아질수록 입자의 운동이 더 크게 감쇠되어 충돌 빈도가 감소하고 k 값이 작아진다.