回転軸のアンバランス補正

事例：水平回転シャフトは、a）静的に、b）動的に、定義されたレベルで質量を意図的に追加または除去することにより、結果として生じる不均衡力または不均衡モーメントが消失するか、許容値以下になるように補正されます。静的バランス調整は、1 つの面における重心の純粋な変位を補正し、動的バランス調整は、さらに、シャフトに沿った 2 つ（またはそれ以上）の面における補正によって、傾きの不均衡部分を補正します。

1. アンバランスと励起周波数

不均衡のある回転軸は、偏心質量によって説明されます。この不均衡質量は、大きさ m_u、回転軸からの距離 e を持ちます。不均衡の積は U=m_u e です。シャフトは 1 分間の回転数 n で回転します。これにより、励起周波数はヘルツ単位で f=n/60 となります。対応する角速度は Ω=2πf=2πn/60 です。

アンバランス質量は円軌道上を移動し、半径方向の遠心力を受けます。この力の大きさは F_u=m_u eΩ^2=UΩ^2 です。振動励起に関しては、この力が特定の方向（例えば垂直方向）に投影されることに注目します。この投影は時間とともに調和的に変化します。そのため、時間依存の励起力は次のように表されます。

F(t)=F_0 sin⁡(Ωt)

振幅 F_0 は m_u e〖 Ω〗^2 に等しい。

2. 静的バランス調整

静的バランス調整では、基本的に短くて頑丈なシャフトを観察します。不均衡は、純粋な静的不均衡としてモデル化することができます。シャフトを非常に滑らかに支え、揺れるままにします。最も重い部分が下になり、重心の位置を示します。目標は、重心が再び回転軸上にくるように不均衡を修正することです。

補正重量 m_K を半径 r_K に設置する場合、その不均衡の積は元の不均衡を相殺する必要があります。次の式が適用されます。

m_K r_K=m_u e

実際には、重い部分から材料を除去するか、反対側に重りを付けるかのいずれかを行います。修正が成功すると、シャフトはどの角度の位置でも安定し、揺れはなくなります。

3.  動的バランス調整

動的バランス調整では、モーメント不均衡も考慮されます。このために、シャフトに沿って 2 つの補正面が使用されます。各面には、特定の質量と角度位置を持つ補正ウェイトを取り付けることができます。シャフトは、バランス調整機上で、または組み込まれた状態で低速回転します。ベアリングで振動と位相が測定されます。

測定された振動ベクトルは、両方の平面で試験用おもりを使って変化させます。この変化から、補正質量の影響を表す線形方程式系が得られます。この方程式系から、最適な補正質量 m_K1 および m_K2、ならびにそれらの角度位置が得られます。補正重りを装着すると、力不均衡とモーメント不均衡の両方が大幅に低減され、シャフトは動作回転数でよりスムーズに回転します。

4. 支持体のばね剛性

振動計算では、シャフトは質量とばねを備えた代替システムで表現されることが多い。スパン L、曲げ剛性 EI の単支点梁の垂直剛性は、静的たわみによって決定される。梁の中央に単一荷重 F が作用すると考える。中央のたわみは

δ=(FL^3)/48EI

中央部の有効ばね定数は k=F/δ として算出されます。これにより、以下の式が得られます。

k=48EI/L^3 

5. 有効質量と固有振動数

振動質量は、機械の質量と梁の質量の一部で構成されています。有効質量 m_eff を定義します。これは、おおよそ m_eff=m_M+ηm_B と表されます。ここで、m_M は機械の質量、m_B は支持材の質量です。参加係数 η は、通常、約 0.2 から 0.3 の範囲です。機械が支持材よりも非常に重い場合、おおよそ m_eff≈m_M と設定します。

ばね定数 k と質量 m_eff からなるシステムは、単質量振動子となります。減衰のない運動方程式は次のとおりです。

m_eff  x ¨(t)+kx(t)=0

この方程式から固有角周波数が導き出されます。

ω_0=√(k/m_eff )

固有振動数はヘルツ単位で

f_0=ω_0/2π

梁に k=48EI/L^3 を代入すると、次の結果が得られます。

f_0=1/2π √(48EI/(L^3 m_eff ))

この関係は、固有振動数が曲げ剛性とともに増加し、スパンと質量の増加とともに減少することを示しています。

6. 共鳴の考察

共振の危険性を評価するには、不均衡の励起周波数を固有振動数と比較します。励起周波数は f=n/60 です。固有振動数は f_0 です。両者の値が近い場合、共振が発生する可能性があります。f が f_0 を大幅に下回る、または大幅に上回る場合、共振の危険性は低くなります。実際には、連続運転中に共振領域が発生しないように、安全距離を確保しています。